Core · 전략
인수분해로 차수를 낮춘다
1
한 근 찾기
상수항의 약수 중 $P(\alpha)=0$ 인 $\alpha$ 를 찾는다 (인수정리)
2
조립제법
$x-\alpha$ 로 나눠 $P(x)=(x-\alpha)Q(x)$
3
나머지 풀기
$Q(x)=0$ (이차 이하)을 인수분해·근의 공식으로
계수가 실수인 경우만 다루며, 인수분해 공식·인수정리·조립제법으로 풀리는 경우만 다룬다. 복소수 범위에서 삼차는 3개, 사차는 4개의 근을 갖는다(중복 포함).
Interactive · 실험실
삼차함수 그래프 실험실
$y=x^3+bx^2+cx+d$ 의 계수를 끌어 보세요. 그래프가 x축과 만나는 점이 곧 삼차방정식의 실근입니다. 삼차함수는 실근을 1개 또는 3개 가집니다.
y = x³ + b x² + c x + d
Examples · 예제
예제
예제 1 · 삼차
$x^3-2x^2-5x+6=0$ 을 풀어라.
- $P(1)=1-2-5+6=0$ → $x-1$ 인수
- 조립제법: $(x-1)(x^2-x-6)=0$
- $(x-1)(x-3)(x+2)=0 \Rightarrow x=1,3,-2$
예제 2 · 사차(복이차식)
$x^4-5x^2+4=0$ 을 풀어라.
- $X=x^2$ 치환: $X^2-5X+4=(X-1)(X-4)=0$
- $x^2=1$ 또는 $x^2=4 \Rightarrow x=\pm1,\ \pm2$
Quick Check · 즉문즉답
즉시 점검
Q1. $P(x)=x^3-2x^2-5x+6$ 에서 $P(1)$ 의 값은? (인수 판정)
Q2. $x^3-2x^2-5x+6=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는?
Q3. $x^4-5x^2+4=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는?
Practice · 연습
연습 & 무한 연습
01★
$x^2-3x+2=0$ 의 두 근을 작은 수부터 콤마로 쓰시오.
02★
$x^3-2x^2-5x+6=0$ 의 세 근을 작은 수부터 콤마로 쓰시오.
03★★
$x^3-1=0$ 의 서로 다른 실근의 개수를 구하여라. (실근 1개, 허근 2개)
04★★
$x^4-10x^2+9=0$ 의 네 근을 작은 수부터 콤마로 쓰시오.
무한 연습 — 인수정리
삼차식 $P(x)$ 의 인수가 되는 $(x-\alpha)$ 의 $\alpha$ 를 한 개 찾으세요.
차수를 낮추면 보인다
한 근을 찾아 조립제법으로 떼어 내면, 남는 것은 익숙한 이차방정식.
복이차식은 $X=x^2$ 치환이 지름길.
"Find one root, and the rest unravels."